出題内容・難易度

問題分析

1. （１） 最大公約数および最小公倍数についての条件から２つの自然数の組を求める問題。双曲型２次不定方程式である。セオリー通りa=mG,b=nG（m,nは互いに素な自然数）とおいて解けば良いが、直接L,Gの組を求めてから考えてもよい。
   （２） ３個のサイコロを投げる試行における確率の問題。余事象に着目するのが簡単。ただし重複のないように場合分けするなど慎重にやらないとミスしやすい。
   （３） ２次関数の最大値に関する問題。２次の項の係数の符号と軸の位置を考察する典型問題の一種だが定義域が自然数全体であることに注意が必要で、類題の経験がない受験生は難しく感じたかも知れない。
   （４） ４次関数のグラフとその複接線が囲む図形の面積を求める問題。接点のx座標が単純なので解法を知っていれば計算は容易だが知らずに微分のみで複接線の方程式を求めようとするとかなり大変になる。なお特殊な公式（いわゆる1/30公式）を使うと面積計算が楽と言われているが少なくとも本問では必要ない。
2. 場合の数（順列の総数）をテーマとする総合的論証問題。
   （１） 問題の「シャッフル」の意味が把握できれば容易。答えだけなら強引に全パターンを書き出すことによっても出せる。
   （２） 二項係数の和についての問題であることに気付くかどうかがポイントとなるので、(１)をごり押しで解いた場合はここで詰まるだろう。
   （３） これは難しい。この問については実質ノーヒントなので解答の方向を見出せなかった人が多いのではないか。右辺の自然対数を一旦定積分で評価するのが正着と思われるがそれ自体多くの受験生が苦手としているので厳しいだろう。
   （４） これは(３)の誘導が親切なのであとは65と2の6乗の関係に気付けば良いだけ。
3. 初項および２項間漸化式で定義された数列の一般項を求め、その項のうち自然数になるものを求める問題。
   （１） （２）の漸化式を解く部分は誘導が親切で易しく、これは落とせない。（３）は初めのいくつかの項を見れば答えの予想は立つだろうが、当然答えがそれだけである根拠をしっかりと論述しなければならない。（２）の結果を使っても使わなくても決して難しくはない。
4. 置換積分と部分積分を利用して三角関数の積分を計算する問題。
   誘導通りに計算を進めて行けば良いが、(３)で(２)をどう使うのかが初見ではやや分かりづらい。ただしこの問題は一昨年度に出題された問題と実質同じ（誘導に用意された関数が微妙に異なるが使い方のポイントは同じ）なのでこれが初見の受験生は居なかっただろう。

総評

 2017年以降比較的穏やかな難易度の出題が続き、もはや定着した感がある。内容的にも、[Ⅰ]小問４題[Ⅱ]整数がらみの論証[Ⅳ]積分計算、という形が続いている。ただ目立った難問のなかった昨年度に比べると、今年度は[Ⅱ]が際立って難しい。とくに様々な分野の知識を総合的に使わなければならない点が多くの受験生を苦しめたことだろう。日頃からただ解法を覚えるだけではなく数学的なものの見方・考え方を養う必要がある。
 また[Ⅳ]がここ数年同じような問題が出題されている（上でも触れたように今年度は一昨年度とほとんど同じ）点にはもはや驚かない。過去問はしっかり研究していくべきだろう。
 これら２つの事は決して矛盾するものではない。思考の伴わない経験は浅いし、知識・経験がなければ思考力の核も育たない。