出題内容・難易度

問題分析

5. 指定された図形内から選んだ３点の作る三角形の面積についての確率とその極限を求める問題。
   比較的易しいがk=0のときの確率を別に求めておく必要があるので注意する。
6. 関数の最小値、方程式の解、回転体の体積を求める問題。
   解き易いがどれも答はきれいな整数ではなく、特に(3)は計算に工夫が必要。
7. ３次方程式の実数解の個数と極限に関する問題。
   (2)は極値計算をしようとすると難しい。x=0,1のときの関数値がnによらないことに気付くのがポイント。
   (3)は(1)の結果を利用して最小解の評価に持ち込む。評価の方法は色々考えられるがノーヒントなので発想力が試される。
8. 互いに接するいくつかの円について半径と角度の関係を求め極限値を計算する問題。
   よくある構図の問題だが角度を絡めてくるのは珍しい。(3)は半径だけで方程式を立てて解くことも出来るが、(4)まで考えると素直に(1)を利用する方向で考える方が良い。いずれにしても答が2つあることを見落とさないように。
9. 一見して何をすべきかが見えてこない難問。(1)はn=3,4あたりで具体的に式を書き下せば正体が見えてきて二項係数の性質を利用すると良いことに気付ける。(2)はまず(1)の結果をmについての数列の漸化式とみて解く必要があり、その後も細かい計算でなく多項式と指数関数の積の極限という本質を意識しなければならない等、受験生にとってはかなり難しいだろう。

総評

 後半の7,8,9が解きにくく昨年に比べやや難化した。特に9は文字が多い上に段階ごとに固定する文字と変化させる文字を意識的に変える必要があって難しい。完答できた受験生はごくまれだろうから他の問題の出来で合否が決まったと思われる。出題分野は全体としてはあまり偏った感じはしないが5問中4問で極限を問うのは何か意図があるのだろうか。ただし5,8は極限の部分は易しい。
 当たり前のことだがどの問題も結局はごく標準的な問題でも使われる手法によって解答できる。対策としては闇雲に難問を解く練習をする前に標準問題の解法を「どのような条件のときに、何故そうするのか」ということまで考えて理解しようとするのが良い。
 今年は出題がなかったが整数、複素数平面にも注意。