出題内容・難易度

問題分析

1. xy平面上に三角関数を用いて定義された点について整数の変数i,jがどのように動くのかを捉えて自然数ｎによって動点の個数をｎの式で求めることを最終目的にしている問題。(1)では、n=3に限定して、さらに変数i,jも具体的に指示されている６つの点からできる三角形を２つ同一座標平面上に記すもので、かなり易しいものだった。(2)はn=4における動点の個数を求めるもので、これも具体的に考えやすいのでスピードに乗って解答できたはずである。(3)は一見するとなぜここでこれを出題しているのかわからないと思ってしまうかもしれないが、求めることはとても容易なので、まず求めてしまおうと思った者も多かったはずである。(4)で一般化となる。特にiもjも0以上ｎ未満の整数に限定すること、まずは１文字を固定して考えるとどのような位置関係になっているのかを座標平面上に描いてみることで、(3)がなぜここで問われたのかも納得できたのではなかろうか。(4)を正確に解ききるには時間がかかってしまうかもしれない。
2. 2次曲線の中でも放物線に関する問題だった。設問文で点Aのｙ座標に注目することができていれば、(1)や(2)について解答できないことはないはずである。ただし、座標平面上の直線に関して交点のまわりのなす角を考えるならば、すぐにｘ軸正の方向と直線のなす角を用いて傾きを考えるだけだとわかっていれば(3)までスムーズに求められたはずである。(4)に至っては、見方を変えると数Ⅱで学習した積分で面積を求めることができるので、この大問は時間をかけずに正確に解ききることができた者が多かったはずである。
3. ３つの条件を満たす関数についての問題だった。(1)では３つ目の条件を踏まえれば接線方程式からPQ＝１を満たす式を立てるのは容易だったはずである。(2)は、オーソドックスな置換積分法で求められるのでここまでで失点することはないだろう。(3)についても、(1)で求めた1次導関数から不定積分でまず、関数を決定してしまえばよい。置換積分で求めることは容易のはずであるので、この大問も丁寧な計算は必要であっても、どうしたらよいかを考え込むような問題ではなかった。

総評

 今年の問題を見て、近年の出題された問題を再度見ても基本的に、解法が決められないと感じる問題は出題されなくなっていると感じた。だからこそ、ここ数年の傾向はいかに計算過程を丁寧かつ迅速に行い、その上で答案は要点が明確になるよう書き、失点を防ぐことができなければならないといえよう。
 まずは、典型的な基本問題演習を日々行い、与えられた条件に応じてどのような手順で進めていくのかを正確に理解できるまでルーティーンワークとして行うことが必要である。その上で、入試レベルの問題であっても同じような解法手順で考えられるか、さらに答案作成をして、過不足なく書くことができているかのチェックを受けることが必要であると言える。
 特に、分野をまたいだ融合問題を多く練習することをオススメしたい。３問の出題ではあるが、決して３分野からの出題ではないからである。
 このようにどのような問題であってもスピードに乗って解ききることができ、答案も書ききることができるように訓練を積んでおくことが合格するためには必要不可欠であると言える。